Von Fuchs und Maus

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Es waren einmal eine kleine, gutmütige Maus und ein gemeiner, hinterhältiger Fuchs. Eines Tages wollte der Fuchs der Maus eine Falle stellen, um sie so vor den anderen Mäusen demütigen zu können. Er hob an einem Wegesrand eine tiefe Grube aus und bedeckte diese sorgfältig mit Blättern und Zweigen. Er plante, dass die kleinen Äste die Maus nicht halten werden, diese daraufhin in die Grube fallen wird und er sie mächtig auslachen kann. Nachdem er die Falle mühsam getarnt hatte, lud er die Maus zum Abendmahl ein. „Gute Maus,“ sprach der Fuchs „ich will dich heute Abend auf ein Essen einladen. Sagt dir das zu?“ Die Maus ahnte in ihrer Gutmütigkeit nichts von dem gemeinen Plan und antworte „Lieber Fuchs, natürlich will ich ein solches nettes Angebot nicht ablehnen und werde kommen. Als es bereits dämmerte hüpfte die Maus freudig zum Fuchsbau. Doch der Fuchs hatte sich schon hinter einigen Büschen versteckt, da er die Demütigung der Maus in vollen Zügen auskosten wollte. Doch als die kleine Maus über die Grube lief, konnten die Äste die leichte Maus gut tragen. Der Fuchs jedoch, der in diesem Augenblick unbedacht aus seinem Versteck hervorsprang, war viel schwerer als die Maus, und er plumpste in seine eigene Grube. Die Maus die das Vorhaben des Fuchses nun verstand, aß das Festmahl, dass der Fuchs für seinen Triumph vorbereitet hatte ganz alleine auf. Als es dämmerte kuschelte sie sich in ihr Bett und dachte: Wer anderen eine Grube gräbt fällt eben selbst hinein!

So endet die Fabel von der kleinen, gutmütigen Maus und dem gemeinen, hinterhältigen Fuchs. Doch hast du dir schon einmal überlegt selbst eine Fabel zu schreiben?

Hier sind die wichtigsten Merkmale einer Fabel kurz zusammengefasst:
Fabeln sind kurze Erzählungen, deren Hauptpersonen oftmals Tiere sind. Diesen werden oft menschliche Eigenschaften zugeordnet wie beispielsweise klein wie eine Maus oder schlau wie ein Fuchs. Außerdem beinhalten Fabeln oft eine Lehre, die Moral, die teilweise am Schluss erwähnt, manchmal muss man sie sich aber auch selbst erschließen.
Übrigens: Fabeln sind sehr alte Formen von Geschichten. Viele der ersten Fabeln wurden von dem Griechischen Dichter Äsop vor ca. 3000 Jahren verfasst. Diese hatten aber oft zum Ziel das kritische Verhalten von Menschen zu kritisieren.

„Wenn sich zwei streiten freut sich der dritte!“

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Von Hahn und Fuchs

Es lebten einst, in einem abgelegenen Wald zwei streitsuchende Hähne und ein kluger, neugieriger Fuchs. Eines Tages fanden die beiden Hähne ein saftiges Stück Fleisch am Wegesrand liegen. Der eine Hahn meinte: „Der Speck gehört mir! Ich habe ihn zu erst gesehen!“ Der andere Hahn aber erwiderte lauthals: „Nein, das Fleisch ist mein! Ich hab es gefunden!“ Beide Hähne stritten sich um das Stück Speck und versuchten es in das eigene Nest zu zerren. Doch durch ihr unbedachtes Geschrei wurde ein neugieriger Fuchs angelockt, der sofort begriff, was die beiden Hähne zu Streiten hatten. Die Hähne, die nur auf ihren Streit bedacht waren, bemerkten den Fuchs jedoch nicht. Als dieser sich nahe genug an die Hähne herangeschlichen hatte, machte er einen großen Satz, packte die Hähne und verschlang sie beiden streitenden mit Haut und Haar. Den Speck verputzte er jedoch genüsslich in seiner Höhle und Fraß ihn bis zum letzten Krümel auf. Gesättigt legte er sich zur Ruh und murmelte: „Wenn sich zwei Streiten freut sich eben der dritte!“

Wie schreibe ich eine Fabel?

Fabeln gibt es schon seit etwa 3000 Jahren und der Inhalt hat sich bis heute stark verändert. Trotzdem solltest du wenn du eine Fabel schreibst einige Merkmale beachten:

  1. Fabeln sind kurze und bündige Erzählungen die auf eine Moral (eine Lehre) aufbauen. Fasse dich also kurz und versuche dabei, deine vorher gewählte Lehre (z.B. Wenn sich zwei streiten freut sich der dritte) mit Hilfe deiner Fabel so stark wie möglich zum Ausdruck zu bringen.
  2. Die Hauptrolle einer Fabel spielen oft Tiere. Diese verkörpern oft die Eigenschafen der Darsteller (z.B. langsam wie eine Schnecke, klug wie ein fuchs, fleißig wie eine Biene usw.)
  3. Nutze bei deiner Fabel keine genauen Ort oder Zeitangaben und beachte ihre Gliederung in Ausgangssituation, Streit und Lösung.

Viel Spaß beim Fabeln schreiben

Größen und Einheiten

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Mathematische Größen und Einheiten

In der Mathematik werden Größen als eine Eigenschaft oder ein Merkmal bezeichnet, das gemessen oder quantifiziert werden kann. Größen sind zum Beispiel: Länge, Gewicht oder Zeit. Größen können durch eine Zahl und eine Einheit ausgedrückt werden.
Einheiten sind ein Maß für eine bestimmte Größe und geben an, wie oft eine Einheit in der gemessenen Größe enthalten ist. Zum Beispiel gibt es in einem Meter 100 Zentimeter. Einheiten werden oft als Abkürzungen dargestellt, wie zum Beispiel „cm“ für Zentimeter oder „kg“ für Kilogramm. Einheiten ermöglichen es auch, verschiedene Größen miteinander zu vergleichen und in Beziehung zu setzen. Dies ist besonders wichtig in der Naturwissenschaft und Ingenieurwissenschaft, wo genaue Messungen notwendig sind, um Probleme zu lösen und Entscheidungen zu treffen.

Größen und Einheiten spielen auch im täglichen Leben eine Rolle. Ohne sie könnten wir weder einen Kuchen nach Rezept backen, noch Entfernungen ausdrücken. Deshalb ist es wichtig Größen und ihre Einheiten zu lernen und zu verstehen.

Verschiedene Größen

Einige der wichtigsten Größen sind Länge, Fläche, Volumen, Gewicht oder Masse, Zeit, Winkel, Geschwindigkeit, Temperatur und Geld. Die Länge wird beispielsweise in der Geometrie verwendet, um die Abmessungen von Objekten zu messen, während das Gewicht oder die Masse in der Physik und der Chemie eine wichtige Rolle spielen.
Ein weiteres Beispiel ist die Zeit, die in vielen Bereichen der Mathematik und der Physik eine wichtige Größe darstellt. Außerdem ist die Zeit eine Größe die uns auch im Alltag regelmäßig begegnet. Ebenso wichtig ist das Verständnis und das Rechnen mit Geld.

Das ist eine Aufzählung der wichtigsten Größen mit ihren Einheiten:

  • Länge: Meter (m), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)
  • Fläche: Quadratmeter (m²), Quadratzentimeter (cm²)
  • Volumen: Kubikmeter (m³), Kubikzentimeter (cm³), Liter (L),
  • Gewicht oder Masse: Gramm (g), Kilogramm (kg)
  • Zeit: Sekunden (s), Minuten (min), Stunden (h), Tage (d)
  • Winkel: Grad (°)
  • Geschwindigkeit: Meter pro Sekunde (m/s), Kilometer pro Stunde (km/h)
  • Temperatur: Celsius (°C)
  • Geld: Euro (€)

Die meisten Größen wie zum Beispiel Zeit, Länge, Gewichte und Geld und ihre Einheiten spielen in unserem täglichen Leben eine wichtige Rolle.

Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln

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Die Teilbarkeit

Die Teilbarkeit ist ein wichtiges Konzept in der Mathematik. Sie beschreibt, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl geteilt werden kann. Eine Zahl ist genau dann durch eine andere Zahl teilbar, wenn das Ergebnis der Division ganzzahlig ist. Die Zahl, durch die geteilt wird, wird Divisor genannt, während die Zahl, die geteilt wird, Dividend genannt wird.
Es gibt bestimmte Regeln, um herauszufinden, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist. Zum Beispiel ist eine Zahl genau dann durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie entweder auf 0 oder 5 endet, und eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
Die Teilbarkeitsregeln für andere Zahlen wie 4, 6, 7, 8 oder 9 sind komplexer und erfordern spezielle Techniken wie das Überprüfen der letzten zwei Ziffern oder das Anwenden der Quersummenregel. Die Fähigkeit, schnell zu erkennen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, kann nützlich sein, um Gleichungen zu lösen oder um Zahlen zu analysieren.

Die Teilbarkeit hat viele Anwendungen in der Mathematik und anderen Bereichen wie der Kryptographie oder der Kodierungstheorie. In der Kryptographie werden Teilbarkeitsregeln verwendet, um große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen und somit den Schlüssel für verschlüsselte Daten zu finden. In der Kodierungstheorie werden Teilbarkeitsregeln verwendet, um Fehler in Übertragungen zu erkennen und zu korrigieren.

Die Teilbarkeitsregeln

Die Teilbarkeitsregeln für die Zahlen 1 bis 10 sind wichtige Konzepte in der Mathematik, die helfen, schnell zu bestimmen, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist. Diese Regeln basieren auf bestimmten Eigenschaften von Zahlen.
Die Regel für die Zahl 1 besagt, dass jede Zahl ohne Rest durch 1 geteilt werden kann. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 4 teilbar sind. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn sie um das Doppelte der letzten Ziffer reduziert wird und die Differenz durch 7 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern der Zahl durch 8 teilbar sind. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.

Wenn du diese Regeln beachtest, dann kannst du beliebig große Zahlen auf ihre Teilbarkeit hin untersuchen.

Terme in der Mathematik

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Erfahre mehr über das Thema Terme, was Terme sind und wo sie im Alltag Verwendung finden

Terme in der Mathematik

In der Mathematik ist ein Term eine Kombination von Zahlen, Variablen und Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Ein Term kann aus einer oder mehreren Variablen bestehen. Variablen können Symbole oder Werte darstellen und sie können sich ändern. Ein Term kann auch eine Konstante enthalten, die einen festen Wert darstellt.

Ein Polynom ist ein spezieller Term, der aus einer Summe oder Differenz von Potenzen einer oder mehrerer Variablen besteht. Der Grad eines Polynoms ist die höchste Potenz der Variablen in dem Polynom. Wenn ein Polynom nur aus einem einzigen Term besteht, wird es als Monom bezeichnet. Ein Binom ist ein Polynom mit genau zwei Termen, während ein Trinom ein Polynom mit genau drei Termen ist.
Ein Ausdruck ist eine Kombination von Termen, die durch eine Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division miteinander verbunden sind. Die Reihenfolge der Operationen bei der Auswertung von Termen folgt den Regeln der Punkt-vor-Strich-Operation und der Klammern. Beim Auswerten von Termen ist es wichtig, diese Regeln zu beachten, um die richtige Lösung zu erhalten. In der Mathematik sind Terme grundlegende Konzepte, die in vielen Bereichen der Mathematik Anwendung finden. Von der Algebra bis zur Analysis sind Terme ein wichtiger Bestandteil der mathematischen Sprache und spielen eine entscheidende Rolle bei der Lösung von Gleichungen, der graphischen Darstellung von Funktionen und der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Es gilt die Regel: Man berechnet immer Klammer vor Punkt vor Strich.
Es wird also zuerst die Klammer berechnet, dann mal oder geteilt und schließlich minus oder plus.

Anwendung im Alltag

Terme sind nicht nur ein grundlegendes Konzept in der Mathematik, sondern auch in vielen anderen Bereichen des täglichen Lebens von großer Bedeutung. Wissenschaftliche Disziplinen wie Physik, Chemie und Ingenieurwissenschaften verwenden Terme, um komplexe Zusammenhänge zu beschreiben und zu quantifizieren. In der Wirtschaft werden Terme verwendet, um Finanzmodelle zu erstellen und den Preis von Aktien, Anleihen und anderen Finanzinstrumenten zu berechnen. In der Physik benutzt man Terme, um die Bewegung von Objekten zu beschreiben. Die kinetische Energie eines Objekts, zum Beispiel, wird durch einen Term dargestellt, der die Masse und die Geschwindigkeit des Objekts berücksichtigt. In der Ingenieurwissenschaft helfen Terme, die physikalischen Eigenschaften von Materialien zu beschreiben. Die elektrische Leitfähigkeit eines Materials, kann beispielsweise durch einen Term mit der Variablen „σ“ dargestellt werden, während die Elastizität eines Materials durch einen Term mit der Variablen „E“ dargestellt werden kann.

Terme spielen in vielen Bereichen des täglichen Lebens eine wichtige Rolle.

Rechtschreibübungen

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Erfahre mehr über das Thema Rechtschreibung und welche Übungen sinnvoll sind

Die Rechtschreibung
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Die deutsche Rechtschreibung ist wichtig, damit man Wörter richtig schreibt und andere sie verstehen können.
Es gibt viele Regeln, die man beachten muss und es gibt viele Ausnahmen. Trotzdem ist es wichtig sich mit Rechtschreibung zu beschäftigen. Ein wichtiges Thema der deutschen Rechtschreibung ist die Groß- und Kleinschreibung. Zum Beispiel schreibt man Eigennamen groß (Lisa, Berlin) und Verben oder Adjektive klein (laufen, schön). Am Satzanfang und bei Überschriften wird ebenso groß geschrieben. Eine Ausnahme bilden substantivierte Verben oder Adjektive. Diese werden dann auch groß geschrieben (zum Beispiel: das Grün, das Laufen).
Es gibt außer der Groß- und Kleinschreibung aber noch viele andere wichtige Themen. Zum Beispiel ist es wichtig zu wissen, wann man ein Wort zusammen und wann getrennt schreibt. Manche Wörter haben auch einen langen Vokal. Dieser kann durch die Verwendung von „ie“ oder einem Dehnung h entstehen. Wird ein Vokal kurz gesprochen, so folgt oftmals ein Doppelkonsonant.
Es ist immer wichtig, Wörter sorgfältig zu lesen und zu schreiben, damit keine Missverständnisse entstehen. Man kann auch Wörter im Wörterbuch nachschlagen, um sich bei der Schreibweise unsicherer Wörter zu vergewissern. Es ist normal, Fehler zu machen, und man kann immer lernen und sich verbessern, indem man übt und sich an die Regeln hält.

Wenn du dir nicht sicher bist wie man ein Wort schreibt, dann schaue in einem Wörterbuch nach.

Übungen zur Rechtschreibung

Um die Rechtschreibung zu verbessern, gibt es verschiedene Übungen, die man machen kann. Eine gute Möglichkeit sind Diktate, bei denen man sich von jemandem einen Text diktieren lässt und diesen dann fehlerfrei aufschreibt. Dabei kann man seine Fähigkeiten im Schreiben und Hören gleichzeitig verbessern. Lesen ist auch eine gute Möglichkeit die Rechtschreibung zu trainieren. Durch regelmäßiges Lesen von Büchern, Zeitschriften oder Zeitungen kann man sich mit verschiedenen Wörtern und Schreibweisen vertraut machen. Ein größerer Wortschatz hilft dabei, sicherer im Schreiben zu werden. Übungsbücher oder spezielle Trainingshefte sind eine weitere Möglichkeit, um die Rechtschreibung zu üben. Solche Bücher enthalten verschiedene Übungen, wie Lückentexte, Rätsel oder Aufgaben zum Finden von Fehlern.
Online-Übungen sind auch eine gute Möglichkeit, um die Rechtschreibung zu verbessern. Es gibt viele kostenlose und unterhaltsame Online-Übungen, die speziell für die Verbesserung der Rechtschreibung entwickelt wurden. Diese Übungen können spielerisch gestaltet sein und machen das Lernen unterhaltsamer. Ein gutes Online Angebot findest du bei abfrager.de.

Es ist wichtig, regelmäßig zu üben und sich nicht entmutigen zu lassen. Mit Geduld und Ausdauer kann jeder seine Rechtschreibung verbessern.

Simple Present

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Erfahre mehr über das Simple Present, wie man es bildet und verwendet

Das Simple Present

Das Simple Present (auch Present Simple genannt) ist eine englische Zeitform, die verwendet wird, um über Dinge zu sprechen, die in der Gegenwart oder regelmäßig passieren. Man benutzt das Simple Present auch wenn man sagen möchte, dass man etwas gewöhnlich tut oder wenn man eine wahre Begebenheit beschreibt.
Zum Beispiel:

  • I eat breakfast every day. (Ich frühstücke jeden Tag.)
  • He reads a book. (Er liest ein Buch.)
  • Dogs bark. (Hunde bellen.)
  • The sun is the center of our solar system. (Die Sonne ist das Zentrum unseres Sonnensystems.)

Wichtig zu beachten ist, dass man bei der dritten Person Singular (he, she, it) ein -s oder -es an das Verb anhängt.
Zum Beispiel:

  • He plays the guitar. (Er spielt Gitarre.)
  • She tidies her room. (Sie räumt ihr Zimmer auf.)
  • It barks loud. (Es bellt laut.)

Bei Verben die auf -y enden kommt es darauf an, welcher Buchstabe vor dem y steht.
Steht ein Konsonant vor dem y so wird das -y zu einem -ie (tidy wird zum Beispiel zu tiedies). Steht ein Vokal vor dem -y so bleibt das -y stehen. (play wird zum Beispiel zu plays).

Ein Merkspruch für das Simple Present lautet: He, she, it das „s“ muss mit!

Die Signalwörter für das Simple Present

Es gibt einige Signalwörter, die oft im Simple Present verwendet werden und auf regelmäßige Handlungen oder Wahrheiten hinweisen. Hier sind einige Beispiele:

  • always (immer)
  • often (oft)
  • usually (gewöhnlich)
  • sometimes (manchmal)
  • never (nie)
  • every day/week/month/year (jeden Tag/Woche/Monat/Jahr)
  • on Mondays/Tuesdays/etc. (an Montagen/Dienstagen/etc.)
  • in the morning/afternoon/evening (morgens/nachmittags/abends)
  • at night (nachts)
  • rarely (selten)

Diese Signalwörter helfen dabei, den Zeitrahmen einer Aussage im Simple Present zu bestimmen und zu verdeutlichen, dass die Handlung oder Aussage regelmäßig oder allgemeingültig ist.

Beispiel:

  • I always wash my hands before dinner. (Ich wasche meine Hände immer vor dem Abendessen.)

In diesem Beispiel weist das Signalwort „always“ darauf hin, dass das Waschen der Hände eine regelmäßige Gewohnheit ist, die jeden Tag passiert.

Die Signalwörter werden allerdings nicht immer benutzt. Es gibt auch Sätze ohne Signalwörter die im Simple Present stehen.

Achte auf die Signalwörter. Sie machen es dir einfacher zu erkennen, wann das Simple Present verwendet wird.

Present progressive

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Erfahre mehr über das Thema Present Progressive, wie man es bildet und anwendet

Das Present Progressive

Das Present Progressive ist eine englische Zeitform, die beschreibt, dass eine Handlung gerade in diesem Moment stattfindet. Es wird auch als Present Continuous bezeichnet.
Um das Present Progressive zu bilden, braucht man die konjugierte Form von „to be“ (am, is, are) und das Verb in der „ing-Form“ (Gerundium).

Zum Beispiel:

  • I am reading a book. (Ich lese gerade ein Buch.)
  • She writing a letter. (Sie schreibt einen Brief.)
  • They are studying for the exam. (Sie lernen gerade für die Prüfung.)

Um das Present Progressive in der negativen Form zu bilden, fügt man einfach „not“ zwischen „to be“ und dem Verb im Gerundium ein:

  • I am not playing chess. (Ich spiele gerade kein Schach.)
  • She is not doing her homework. (Sie macht gerade nicht ihre Hausaufgaben.)
  • They are not talking with the teacher. (Sie sprechen gerade nicht mit dem Lehrer.)

Das Present Progressive zeigt an, dass etwas gerade im Moment passiert.

Signalwörter

Es gibt verschiedene Signalwörter, die auf das Present Progressive hinweisen können. Diese Wörter geben an, dass eine Handlung im Moment des Sprechens stattfindet oder gerade in diesem Augenblick passiert. Einige Signalwörter für das Present Progressive sind:

  • now (jetzt)
  • at the moment (im Moment)
  • currently (derzeit)
  • right now (gerade jetzt)
  • at present (aktuell)

Wenn man einen Satz im Present Progressive liest oder hört und eines dieser Signalwörter darin vorkommt, kann man sicher sein, dass die Handlung im Moment des Sprechens stattfindet.

Hier sind einige Beispiele:

  • He is currently working on his new book. (Er arbeitet derzeit an seinem neuen Buch.)
  • She is right now watching TV. (Sie schaut gerade jetzt fern.)
  • We are at the moment sitting in the classroom. (Wir sitzen im Moment im Klassenzimmer.)
  • They are now playing video games. (Sie spielen jetzt gerade Computerspiele.)
  • I am at present working on a project. (Ich arbeite aktuell an einem Projekt.)

Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle Sätze im Present Progressive Signalwörter enthalten müssen. Manchmal wird die Zeitform auch verwendet, um eine Handlung zu beschreiben, die im Moment passiert, ohne dass ein spezielles Signalwort benutzt wird.

Signalwörter für das Present Progressive sind: now, at the moment, currently, right now, at present

Exponentielle Wachstumsprozesse

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Lineares Wachstum hast du bereits in den vorangeganenen Klassenstufen kennengelernt. Was du nun neu lernst sind exponentielle Wachstumsprozesse.

Exponentielle Wachstumsprozesse sind eine Art von Wachstum, bei dem sich Dinge immer schneller vergrößern oder vermehren.

Angenommen, auf einem Feld wohnt ein paar Kaninchen. Jedes Kaninchenpaar bekommt jeden Monat ein neues Paar Babykaninchen. Das erste Kaninchenpaar hat im ersten Monat ein neues Paar Babys. Im zweiten Monat bekommen das ursprüngliche Paar und das neue Babykaninchenpaar jeweils ein neues Babykaninchenpaar. Die Anzahl der Kaninchen wächst sehr schnell, weil jedes Paar jeden Monat neue Babykaninchen bekommt.

Die Anzahl der Kaninchen exponentiell, weil sie sich immer wieder vermehren oder vergrößern, basierend auf dem, was bereits vorhanden ist. Das ist das Besondere an exponentiellen Wachstumsprozessen: Sie werden im Laufe der Zeit immer schneller und können zu erstaunlichen Ergebnissen führen.

Ein anderes klassisches Beispiel für einen exponentiellen Wachstumsprozess sind Zinsen und Zinseszinsen für Geld auf einem Sparkonto bei der Bank. Die Bank zahlt dir in der Regel Zinsen, wenn du dein Geld dort aufbewahrst. Die Zinsen werden als Prozentsatz des Geldbetrags berechnet, der auf deinem Konto liegt. Wenn du also beispielsweise 100 Euro auf eurem Konto hast und die Bank dir jährlich 5 % Zinsen zahlt, bekommt du am Ende des Jahres 5 Euro Zinsen (5 % von 100 Euro).

Das Faszinierende an Zinsen ist, dass sie auf das gesamte Geld auf eurem Konto, einschließlich der bereits erhaltenen Zinsen, berechnet werden. Das nennt man Zinseszins. Im nächsten Jahr würden die 5 % Zinsen also nicht nur auf eure ursprünglichen 100 Euro, sondern auf insgesamt 105 Euro (100 Euro + 5 Euro Zinsen) berechnet. Das bedeutet, dass du am Ende des zweiten Jahres 5,25 Euro Zinsen bekommst (5 % von 105 Euro), weil dein Geldbetrag gewachsen ist.

Warum kann das erstaunliche Konsequenzen haben? Nehmen wir folgendes Beispiel:

»Hätte Joseph, als verantwortlicher Vater von Jesus zur Geburt seines Sohnes einen Silberpfennig bei der Sparkasse Bethlehem angelegt und einen jährlichen Zins von 5 Prozent vereinbart …«
Bei einer Verzinsung von 5 Prozent (einschließlich Zinseszins) verdoppelt sich die angelegte Summe in ca. 14 Jahren. Es handelt sich um exponentielles Wachstum.

Nehmen wir weiterhin an, die Erben von Jesus wollten sich im Jahr 2000 das angesammelte Vermögen in Silberpfennigen, also in Silber, auszahlen lassen. Was wäre daraus geworden?

Der Auftrag an die Bethlehemer Sparkasse im Jahr 2000 würde also lauten: »Bitte liefern Sie den ursprünglich angelegten Cent einschließlich der aufgelaufenen Zinsen und Zinseszinsen in Form von 1 kg Silberbarren an unsere Ihnen bekannte Heimatadresse in Bethlehem«.

Zu liefern wären 23 Billionen Silberkugeln jeweils vom Gewicht unserer Erde.

Das ist schwer vorstellbar? Dann nehme einen Taschenrechner und rechne es nach. Du siehst, selbst kleine Prozentsätze können bei exponentiellem Wachstum im Laufe der Zeit zu einem beträchtlichen Wachstum führen.

Trigonometrie

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Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, bei der es um die Beziehungen zwischen den Seiten und den Winkeln von Dreiecken geht. Mithilfe der Trigonometriefunktionen kannst du beispielweise unbekannte Seitenlängen oder Winkel in rechtwinkligen Dreiecken berechnen, wenn andere Größen gegeben sind.

Je nachdem welche Größen gegeben sind, musst du die richtige Formel auswählen und verwenden:

Sinus(α) = Gegenkathete (gegenüberliegende Seite) / Hypotenuse (längste Seite)
Kosinus(α) = Ankathete (anliegende Seite) / Hypotenuse (längste Seite)
Tangens(α) = Gegenkathete (gegenüberliegende Seite) / Ankathete (anliegende Seite)

Jedes rechtwinklige Dreieck hat eine längste Seite. Diese wird Hypotenuse genannt. Die zwei kürzeren Seiten, werden als Katheten bezeichnet. Wenn du beispielsweise einen der Winkel in diesem Dreieck sowie die Länge der Hypotenuse kennst (außer dem 90-Grad-Winkel), kannst du die Längen der anderen Seiten mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens herausfinden.

Mit der Trigonometrie kannst du auch im realen Leben Probleme lösen. So lässt sich beispielweise die Höhe eines Baumes berechnen, ohne dass du auf ihn hinaufklettern musst. Was benötigst du dazu und wie funktioniert das?

Zunächst benötigst du einen Maßstab, ein Maßband und ein Werkzeug zum Messen von Winkeln (z.B. einen Neigungsmesser oder eine Smartphone-App).

Suche dir nun einen Punkt auf dem Boden aus, von dem aus du den Baum gut sehen kannst. Achte darauf, dass der Boden zwischen dir und dem Baum relativ eben ist.

Stehe an dem ausgewählten Punkt und richte den Maßstab oder das Winkelmessgerät auf die Baumspitze. Miss den Winkel zwischen dem Boden und der Sichtlinie zur Baumspitze. Dieser Winkel wird α (Alpha) genannt.

Miss die Entfernung zwischen dir und dem Baum mit dem Maßband. Nennen wir diese Entfernung „A“.

Miss auch deine Augenhöhe vom Boden aus. Nennen wir diese Höhe „H“.

Jetzt hast du alle Informationen, die du benötigst, um die Höhe des Baumes mithilfe der Trigonometrie zu berechnen. Du wendest die Tangens-Funktion an, die das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete angibt:

tan(α) = Höhe des Baumes (ohne deine Augenhöhe) / Entfernung zum Baum

Löse die Gleichung nach der Höhe des Baumes auf:

Höhe des Baumes (ohne deine Augenhöhe) = A * tan(α)

Zum Schluss addiere deine Augenhöhe „H“ zur berechneten Höhe, um die Gesamthöhe des Baumes zu erhalten:

Gesamthöhe des Baumes = (A * tan(α)) + H

Nachdem du die Berechnung durchgeführt hast, erhältst du die geschätzte Höhe des Baumes. Die Methode ist zwar nicht perfekt, aber sie gibt dir eine ziemlich gute Schätzung der Höhe des Baumes. Und das ohne dass du auf den Baum hinaufklettern oder den Baum fällen musst.

Trigonometrie ist generell ein sehr nützliches Werkzeug zum Lösen von Problemen im Zusammenhang mit Winkeln, Entfernungen und Höhen. Sie findet daher auch beispielweise in den Bereichen Architektur, Ingenieurswesen, Geologie und Kartographie, Astronomie, Physik und Computergrafiken viele Anwendungsfälle.