Monat: März 2023

Wurzelrechnung

von

In der Unterrichtseinheit Wurzelrechnung der 9. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler Wurzeln und Wurzelterme zu vereinfachen und damit zu rechnen.

Wurzeln kann man sich nicht so einfach vorstellen, da es sich um abstraktes mathematisches Konzept handelt. Am anschaulichsten lassen sich Quadratwurzeln am Verhältnis von Länge zu Fläche eines Quadrates vorstellen. Kubische Wuzeln hingegen lassen sich mit dem Verhältnis von Seitenlänge zu Volumen eines Würfels veranschaulichen.

Wurzeln sind die Umkehrung von Potenzen. Dieses Verständnis ist notwendig, um Wurzeln zu verstehen. Ein Würfel mit der Seitenlänge 2m hat ein Volumen von (2m)³ = 2m mal 2m mal 2m = 8m³. Die dritte Wurzel aus 8m³ ist 2m.

Einige Wurzeln, wie die Quadratwurzel von 2 (√2) oder die Quadratwurzel von 3 (√3), sind irrationale Zahlen. Das bedeutet, dass sie weder als exakte Dezimalzahlen noch als Brüche ausgedrückt werden können. Die Vorstellung von irrationalen Zahlen kann für einige Schüler abstrakt und schwierig zu begreifen sein.

Um das Verständnis von Wurzeln zu erleichtern, ist es hilfreich, sich auf die Beziehung zwischen Potenzen und Wurzeln zu konzentrieren und visuelle Darstellungen wie die oben beschriebenen Flächen- und Volumenbeispiele zu nutzen.

Das Thema Wurzeln und Wurzelrechnung ist auch in den folgenden Schuljahren sehr wichtig und in vielen Aufgaben kommen Wurzeln vor. Schülerinnen und Schüler sollten daher auf keinen Fall versäumen, ein gutes Verständnis von Wuzeln und Potenzen zu erlernen.

Wenn du die Rechneregeln zu Wurzeln gut beherrschst kann die Wurzelrechnung ein Thema der Mathematik sein, das Spaß macht und gut überschaubar und beherrschbar ist. Durch die Anwendung der Rechenregeln lassen sich komplizierte Wurzelterme und Gleichungen meist deutlich vereinfachen und resultieren gerne in einer eleganten Lösung mit einem simplen Zahlenwert. Das ist dann eine tolle Genugtuung und ein schönes Resultat für die anstrengende Rechenarbeit.

Binomische Formeln

von

Beim Thema Binomische Formeln geht es darum, Klammern aufzulösen und Terme zu vereinfachen. Mit Hilfe der Binomischen Formeln können spezielle quadratische Gleichungen elegant und mit wenig Rechenaufwand vereinfacht werden.

Es gibt insgesamt drei binomische Formeln.

Die erste binomische Formel lautet: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Die zweite binomische Formel lautet: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Die dritte binomische Formel lautet: (a + b)(a – b) = a2 – b2

Zunächst solltest du grundlegende Begriffe und Methoden wie Terme, ausmultiplizieren und Variablen verstanden haben. Diese benötigst du, um binomische Formeln verstehen und anwenden zu können.

Dann führt nichts daran vorbei: Du musst die drei binomischen Formeln auswendig lernen. Diese sind im weiteren Verlauf des Schuljahres und der nächsten Schuljahre so wichtig, dass du sie jederzeit, selbst im Halbschlaf, aufsagen können solltest.

Zusätzlich ist es hilfreich, ein Gespür für Terme zu entwickeln, welche sich für die Anwendung binomischer Formeln eigenen. Beginnt der Term mit einer Quadratzahl wie 9a² (so beginnt der rechte Teil der ersten und zweiten binomischen Formel), sollten bei dir alle Alarmglocken im Kopf anschalten. Gleiches gilt beispielsweise für Terme, bei denen zwei Quadratzahlen mit jeweils quadratischen Variablen subtrahiert werden wie z.B. 25x² – 36y²

Übe zunächst mit einfachen Aufgaben und steigere dann die Schwierigkeitsstufe. Am besten kannst du neben Schlaukopf mit echten Klassenarbeiten lernen. Auf www.klassenarbeiten.de findest du kostenfrei eine Vielzahl von echten Klassenarbeiten mit echten Prüfungsaufgaben. Diese eignen sich ideal als Übungsmaterial.

Ein besonderes Augenmerk solltest du auf die typischen Anwendungsfälle von binomischen Formeln legen. Dazu gehört beispielweise die Berechnung von geometrischen Formen, wie z.B. der Erweiterung und Verkleinerung eines Rechtecks. Auch bei Wachstums- und Zerfallsprozessen können binomische Formeln verwendet werden, um die Veränderungen im Laufe der Zeit zu beschreiben. In der Physik kommen binomische Formeln zum Einsatz, wenn Gesetze der Bewegung, Geschwindigkeit, Beschleunigung oder Kräft beschrieben werden. Also immer dann, wenn es quadratische Gleichungen oder Formeln zu lösen gibt.

Gleichungen, 8. Klasse

von

Inhaltsübersicht über das Thema Gleichungen im Mathematikunterricht der 8. Klasse Gymnasium.

Die Unterrichtseinheit beginnt in der Regel mit einer Wiederholung dessen, was bislang bereits über Gleichungen gelernt wurde. Die Begriffe Terme und Variablen sind den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt sein, ebenso wie die Möglichkeiten zur Lösung von Gleichungen wie das Additionsverfahren, das Subtraktionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren.

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten werden oft in der 7. Klassenstufe thematisiert. Mit Äquivalenzumformungen und den Lösungsverfahren kann die Lösung von Gleichungen ermittelt werden.

In der 8. Klassenstufe kommen nun Gleichungen hinzu, die Klammern oder Brüche enthalten, so genannte Bruchgleichungen. Die Schülerinnen und Schüler lernen, dass Klammern durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen aufgelöst werden können. Brüche in Bruchgleichungen hingegen lassen sich durch kürzen und erweitern vereinfachen. Durch das Finden eines gemeinsamen Nenners und anschließendem multiplizieren der Gleichung mit dem Nenner lassen sich Brüche aus Gleichungen komplett entfernen und die Gleichung anschließend einfacher lösen.

Die Schülerinnen und Schüler lernen im Verlauf des Schuljahres auch Gleichungen kennen, die Potenzen oder Wurzeln enthalten. Gleichungen mit Quadratzahlen werden Quadratische Gleichungen genannt. Eine Gleichung, welche mindestens eine Quadratwurzel enthält, nennt man Wurzelgleichung. Die Schülerinnen und Schüler lernen in dieser Unterrichtseinheit Lösungsmethoden für Gleichungen mit Potenzen oder Wurzeln kennen.

Gegen Ende der Unterrichtseinheit werden vermehrt anwendungsbezogene Gleichungen thematisiert. Aus realitätsnahen Sachverhalten sollen dabei Gleichungen abgeleitet und gelöst werden. Schülerinnen und Schüler sollen dabei lernen, wie reale Probleme durch die Verwendung von Gleichungen un Gleichungssystemen gelöst werden können.

Das Present Perfect

von

Erfahre mehr über die Verwendung und die Bildung des Present Perfect

Das Present Perfect

Das Present Perfect ist eine wichtige Zeitform im Englischen. Man verwendet sie um über Handlungen oder Ereignisse zu sprechen, die in der Vergangenheit begonnen haben und bis in die Gegenwart andauern.
Das Present Perfect wird gebildet aus dem Hilfsverb „have“ oder „has“ (je nach Subjekt) und dem Partizip Perfekt (Past Participle) des Hauptverbs. Zum Beispiel: „I have broken my leg. (Ich habe mein Bein gebrochen.) She has left the house. (Sie hat das Haus verlassen). Es gibt auch unregelmäßige Verben, deren Past Participle nicht nur durch das Anhängen von -ed an das Verb funktioniert. Meist sind es dieselben Verben, die auch im Simple Past unregelmäßig sind. Du solltest die Simple Past Formen der unregelmäßigen Verben und auch die Form im Present Perfect auswendig lernen. Zu den unregelmäßigen Verben zählen zum Beispiel „go“ (wird zu „gone“), „do“ (wird im Present Perfect zu „done“) oder „have“ (wird zu „had“).
Um Fragen im Present Perfect zu stellen, wird „have“ oder „has“ vor das Subjekt gestellt. Zum Beispiel: „Have you read the book?“ „Has she broken her ankle?“
Wenn du einen Satz im Present Perfect verneinen möchtest, musst du „not“ nach dem Hilfsverb „have“ oder „has“ hinzufügen. Zum Beispiel: „I haven’t played the guitar.“ „He hasn’t seen me before.“
Es gibt im Present Perfect einige Signalwörter, die anzeigen, dass das Present Perfect verwendet wird. Einige Beispiele sind: already, just, ever, never, since, for.
Im Gegensatz zum Simple Past, das sich auf abgeschlossene Handlungen in der Vergangenheit bezieht, betont das Present Perfect den Einfluss der vergangenen Handlung auf die Gegenwart oder die Fortdauer der Handlung in die Gegenwart hinein. Wenn eine Handlung in der Vergangenheit noch Auswirkungen auf heute hat, dann verwendet man das Present Perfect. Zum Beispiel: „I have broken my ankle. It still hurts.“

Das Present Perfect ist eine wichtige Zeitform im Englischen. Die Formen der unregelmäßigen Verben musst du auswendig lernen.

Das Simple Past

von

Erfahre mehr über die Bildung und Verwendung des Simple Past im Englischen

Die Zeitform Simple Past

Das Simple Past ist im Englischen eine sehr wichtige Zeitform. Jeder Schüler sollte das Simple Past beherrschen und anwenden können, da es sehr häufig in gesprochener und geschriebener Sprache vorkommt.

Das Simple Past wird verwendet, um über Dinge zu sprechen, die in der Vergangenheit passiert sind und bereits abgeschlossen sind.
Das heißt, dass du das Simple Past benutzen kannst um zu erzählen, was du in der Vergangenheit gemacht hast. Zum Beispiel:
„I ate an ice cream.“ (Ich habe ein Eis gegessen.)

Das Simple Past bildet man aus der Grundform des Verbs an das ein -ed angehängt wird. Aus „play“ wird zum Beispiel „played“ aus „listen“ wird „listened“ und so weiter. Manche Verben sind jedoch unregelmäßig, und ihre Simple Past Form ist ganz anders. Zum Beispiel wird „go“ zu „went“: „I went to the museum yesterday.“ (Ich bin gestern ins Museum gegangen.) Die Formen der unregelmäßigen Verben im Simple Past musst du leider auswendig lernen.
Möchte man hingegen eine Frage im Simple Past stellen, so verwendet man das Hilfsverb „did“ und das Grundverb. Zum Beispiel: „Did you have fun?“ (Hattest du Spaß?) oder „Did they ate hamburgers“ (Haben sie Hamburger gegessen?)
Um einen Satz im Simple Past zu verneinen, benutzt man „did not“ (oder „didn’t“) und das Verb im Infinitiv (in seiner Grundform). Zum Beispiel: „I didn’t go to school.“ (Ich bin nicht in die Schule gegangen).
Es gibt bestimmte Wörter, die uns helfen, zu erkennen, dass wir das Simple Past verwenden sollten. Einige Signalwörter die das Simple Past anzeigen sind zum Beispiel „yesterday“ (gestern), „last week“ (letzte Woche) und „ago“ (vor).

Achtung: Wenn ein Verb auf y endet musst du bei der Bildung des Simple Past aufpassen. Steht ein Vokal vor dem y, so bleibt das y stehen. (play wird zu played). Steht allerdings ein Konsonant vor dem y, so wird das y zu ie (tidy wird zu tiedied).

Das Simple Past ist im Englischen eine sehr wichtige Zeitform. Die Simple Past Form der unregelmäßigen Verben musst du auswendig lernen.

Das going to future

von

Lerne etwas über die Zeitform des „going to future“. Seinen Gebrauch und seine Verwendung

Kostenlose Vektorgrafiken zum Thema Pixelchen

Das „going to future“ wird verwendet um Dinge oder Abläufe in der Zukunft zu beschreiben. Im DEutschen verwenden wir dafür hauptsächlich das Futur I.

Das going to future

Das „going to future“ ist eine wichtige und nützliche Zeitform im Englischen. Sie hilft uns über zukünftige Pläne, Absichten und Vorhersagen zu sprechen. Diese Zeitform ist besonders wichtig, wenn wir unsere Pläne oder Absichten für die Zukunft ausdrücken möchten. Außerdem können wir Vorhersagen treffen, basierend auf Informationen oder Beobachtungen, die wir bereits gemacht haben.

Um das „going to future“ zu bilden, verwenden wir das Verb „to be“ (am, is, are) in der entsprechenden Form für das Subjekt, gefolgt von „going to“ und dem Verb im Infinitiv. Zum Beispiel sagen wir „I am going to play chess“ für einen zukünftigen Plan, bei dem wir Schach spielen möchten, oder „They are going to make a cake.“ für die Absicht, in der Zukunft einen Kuchen zu backen.

Fragen im „going to future“ stellt man, indem man das Verb „to be“ vor das Subjekt setzt. Zum Beispiel „Is he going to eat an ice cream?“. „Are we going to visit the museum?“
Um einen Satz im „going to future“ zu verneinen, fügen wir „not“ nach dem Verb „to be“ hinzu.
Zum Beispiel: „We aren’t (are not) going to read a book.“ „I’m not going to play the piano.“

Das „going to future“ eignet sich auch hervorragend für Vorhersagen, die auf unseren Beobachtungen oder dem aktuellen Wissen basieren. Wenn wir zum Beispiel dunkle Wolken am Himmel sehen, können wir sagen: „Look at those dark clouds. It is going to rain.“

Es gibt auch noch eine andere Zukunftsform im Englischen: Das „will future“. Das „will future“ wird verwendet, um spontane Entscheidungen, Vorhersagen oder Vermutungen über die Zukunft auszudrücken, die nicht auf aktuellen Beobachtungen oder Informationen basieren. Es kann auch verwendet werden, um Versprechen, Angebote oder Aufforderungen auszudrücken.

Das „going to future“ ist eine Zeiform, die es uns ermöglicht Pläne und Absichten für die Zukunft auszudrücken und Vorhersagen basierend auf unserem Wissen oder unseren Beobachtungen zu treffen.

some oder any

von

Lerne wann man some und wann man any in der englischen Grammatik verwendet

Kostenlose Vektorgrafiken zum Thema Pixelchen

Im Englischen gibt es verschiedene Möglichkeiten eine ungenaue Anzahl von Dingen anzugeben. Eine davon ist die Verwendung von „some“ und „any“. „Some“ und „any“ werden aber nicht äquivalent verwendet. Wann du „some“ verwendest und wann „any“ wollen wir uns nun gemeinsam anschauen.

Die Verwendung von „some“

„Some“ wird in positiven Sätzen verwendet. Das sind Sätze die nicht verneint werden. Wenn ich zum Beispiel weiß, dass ich ein paar Blätter habe, aber nicht genau weiß wie viele es sind, dann kann ich sagen: „I have got some papers.“

Die Verwendung von „any“

„Any“ wird in Fragen oder Verneinungen (negativen Sätzen) verwendet. Zum Beispiel kannst du sagen „Do you have any pets?“ und die Antwort könnte dann lauten: „No, I haven’t got any pets.“

Vertiefung:

„Some“ und „any“ sind wichtige englische Wörter, die verwendet werden, um unsichere Mengen von Dingen oder Personen zu beschreiben. Beide Wörter können mit zählbaren und unzählbaren Nomen verwendet werden.

In positiven Sätzen benutzen wir „some“, um eine unsichere Menge auszudrücken. „Some“ kann auch in Fragen verwendet werden, wenn wir ein Angebot machen oder eine Anfrage stellen. Zum Beispiel: „Would you like some cake?“

Im Gegensatz dazu verwenden wir „any“ in Fragen und negativen Sätzen. Zum Beispiel fragen wir: „Do you have any apples?“ oder sagen: „I don’t have any candy.“

Es gibt auch Ausdrücke, die „some“ und „any“ enthalten, wie „somebody“, „someone“, „something“, „anybody“, „anyone“ und „anything“. Wir verwenden „somebody“, „someone“ und „something“ in positiven Sätzen oder Angeboten und Anfragen, während „anybody“, „anyone“ und „anything“ in Fragen oder negativen Sätzen verwendet werden.

„Some“ benutzt man in positiven Sätzen, „any“ in negativen Sätzen und Fragen.

Lineare Gleichungen, 7. Klasse

von

In der 7. Klasse lernst du erstmals, lineare Gleichungen zu lösen. Mit Linearen Gleichungen lassen sich Probleme mit einer oder mehreren Unbekannten lösen.

Es gibt viele Anwendungsmöglichkeiten, bei denen es gilt, unbekannte Größen zu ermitteln. Das Aufstellen und Lösen von Gleichungen ist die Vorgehensweise für die Lösung solcher Probleme. Bei linearen Gleichungen handelt es sich um eine vergleichsweise einfache Art von Gleichungen.

In der Regel lernst du in dieser Unterrichtseinheit zunächst, was lineare Gleichungen sind und einige Anwendungsbeispiele für lineare Gleichungen.

Stell dir vor, du möchtest ermitteln, wie viel Geld du jedem Monat sparen musst, um ein bestimmtes Sparziel zu erreichen. Mit einer linearen Gleichung kannst du den erforderlichen Sparbetrag berechnen. Oder du möchtest herausfinden, welche Strecke ein Fahrzeug mit einer bestimmen Geschwindigkeit zurücklegt. Auch das kannst du mit linearen Gleichungen ermitteln.

Was sind lineare Gleichungen im Vergleich zu nicht-linearen Gleichungen?

In Linearen Gleichungen treten Variablen einzeln und nur mit der Potenz 1 auf. Es gibt darin also keine quadratischen oder potenzierte Variablen. Lineare Gleichungen können geometrisch als Gerade dargestellt werden, während nicht-lineare Gleichungen gekrümmte Formen annehmen können.

Im nächsten Schritt lernst du im Unterricht, wie du lineare Gleichungen aufstellen kannst. Meist erhältst du eine Beschreibung oder eine Textaufgabe und musst daraus eine lineare Gleichung ableiten.

Zum Lösen von linearen Gleichungen lernst du mehrere Verfahren, darunter das Additionsverfahren, Subtraktionsverfahren und Gleichsetzungsverfahren.

Um lineare Gleichungen einfacher lösen zu können, lohnt es sich oft, diese zunächst umzuformen. Umformungen von Gleichungen, ohne dass sich die Lösung verändert, nennen wir Äquivalenzumformungen.

Ein weiterer wichtiger Aspekt dieses Themas ist die grafische Darstellung von linearen Gleichungen. Lineare Gleichungen werden im Koordinatensystem als Gerade dargestellt. Das Verständnis hierfür wird später im Thema Lineare Funktionen noch intensiv weiterentwickelt.

Ähnlichkeit, 8. Klasse

von

In der 8. Klasse wird die Ähnlichkeit als grundlegendes Konzept in der Mathematik und der Geometrie eingeführt. Ähnlichkeit bedeutet, dass Ähnlichkeiten und Beziehungen zwischen zwei Geometrischen Objekten untersucht werden, welche die gleiche Form, aber nicht undingt die gleiche Größe haben.

Der Ähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, wenn entweder alle drei Winkel gleich groß sind (WW-Ähnlichkeit), alle drei Seiten im gleichen Verhältnis stehen (SS-Ähnlichkeit), oder eine Kombination aus einem gleichen Winkel und zwei Seiten im gleichen Verhältnis vorliegt (SWS-Ähnlichkeit).

Ähnlichkeit ist in der Geometrie ein wichtiges Thema, weil wir dadurch Probleme lösen können, bei denen es um Größenverhältnisse geht. Überlegungen zur Ähnlichkeit sind für uns nützlich, um Beziehungen zwischen verschiedenen Objekten zu verstehen. Konkrete Anwendungsbeispiele sind die Skalierung (Vergrößerung und Verkleinerung) von Abbildungen und das Berechnen geometrischer Seitenlängen in geometrischen Figuren.

Durch die Methode der zentrische Streckung kannst du selbst geomtrische Objekte vergrößern und verkleinern. Bei dieser geometrischen Transformation werden alle Punkte des Objekts anhand gerader Linien verschoben, die durch einen festen Punkt (das Streckzentrum) verlaufen. Mit zentrischen Streckungen kannst du vergrößern und verkleinern. Die Winkel bleiben erhalten und die Seitenlängen ändern sich in gleichem Verhältnis.

Warum ist es wichtig, Geometrie zu lernen? Wozu brauchst du das in deinem späteren Leben?
Durch das Lösen von Geometrie-Aufgaben lernst du logisches Denken und das systematische Lösen von Problemen. Vor allem kannst du aber auch dein räumliches Verständnis verbessern. Auch wenn dir im Alltag wenige konkrete Fragestellungen zur Geometrie begegnen werden, so ist es durchaus möglich, dass die hier erlernten Fähigkeit dir später helfen können, räumliche Probleme später in Alltag in Beruf zu verstehen und zu lösen.

Einfache Potenzen

von

In der 5. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler das Konzept der Potenzen. Potenzen sind eine kompakte Schreibweise, um wiederholte Multiplikationen desselben Faktors darzustellen.

Beispiel: 24 = 2 • 2 • 2 • 2 gesprochen: 2 hoch 4

Eine Potenz besteht aus einer Basis (im obigen Beispiel: 2) und einem Exponenten (im obigen Beispiel: 4). Die Basis ist die Zahl, die mehrmals multipliziert wird. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mutlipliziert wird.

Besondere Exponenten sind die 0 und die 1.

Eine Zahl hoch 1 ergibt immer die Zahl selbst, denn es findet keine Multiplikation statt:

Beispiel: 21 = 2

Eine Zahl hoch 0 ergibt immer den Wert 1.

Beispiel: 20 = 1

Ein Lernziel des Themas „Einfache Potenzen“ ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen zu verstehen, dass Werte von Potenzen oft sehr große Zahlenwerte ergeben. Dies liegt daran, dass mit jedem Schritt der wiederholten Multiplikation der Wert der Zahl exponentiell ansteigt, was zu einem rasanten Wachstum führt.

Um dies zu verstehen, eignet sich die Legende von den Reiskörnern und dem Schachfeld, welche wie folgt erzählt wird:

Eines Tages besiegte ein kluger Mann einen König in einer Partie Schach. Der König war beeindruckt von der Klugheit des Mannes und bot ihm eine Belohnung an: Ihm solle ein Wunsch erfüllt werden, fallsder König diesem zustimme. Der weise Mann hatte einen bescheidenen Wunsch: Er bat den Herrscher um Reiskörner. Aber anstatt einfach eine bestimmte Menge an Reis zu verlangen, stellte er folgende Bedingung: Er wollte, dass auf das erste Feld des Schachbretts ein Reiskorn gelegt wird. Auf das zweite Feld das Doppelte (also zwei Reiskörner). Auf das dritte Feld wieder das Doppelte (vier Reiskörner) und so weiter. Bis alle 64 Felder des Schachbretts mit Reiskörnern belegt sind.

Der König, der den Wunsch des Weisen für bescheiden hielt, willigte ein. Er befahl seinen Dienern, den Wunsch des Mannes zu erfüllen. Die Diener begannen, die Reiskörner auf das Schachbrett zu legen, und bemerkten, dass die Anzahl der Reiskörner exponentiell zunahm. Bereits nach wenigen Feldern war die Menge an Reis gewaltig. Als sie das 64. Feld erreichten, stellten sie fest, dass die benötigte Reismenge so groß war, dass sie alle Reserven des Königreichs und sogar der ganzen Welt überstieg. Die Menge an Reis auf dem 64. Feld allein betrug 263 Körner. Die Gesamtmenge an Reis, die für alle Felder erforderlich war, betrug 264 – 1 Körner.

Der König erkannte, dass er seinen Versprechungen nicht nachkommen konnte. Er realisierte die Lektion, die der weise Mann ihm erteilen wollte: Das exponentielle Wachstum kann selbst bei kleinen Anfängen zu unglaublich großen Zahlen führen. Man sollte niemals die Macht der Exponentialfunktion und damit von Potenzen unterschätzen.