Erfahre mehr über die Bildung und Verwendung des Simple Past im Englischen
Die Zeitform Simple Past
Das Simple Past ist im Englischen eine sehr wichtige Zeitform. Jeder Schüler sollte das Simple Past beherrschen und anwenden können, da es sehr häufig in gesprochener und geschriebener Sprache vorkommt.
Das Simple Past wird verwendet, um über Dinge zu sprechen, die in der Vergangenheit passiert sind und bereits abgeschlossen sind. Das heißt, dass du das Simple Past benutzen kannst um zu erzählen, was du in der Vergangenheit gemacht hast. Zum Beispiel: „I ate an ice cream.“ (Ich habe ein Eis gegessen.)
Das Simple Past bildet man aus der Grundform des Verbs an das ein -ed angehängt wird. Aus „play“ wird zum Beispiel „played“ aus „listen“ wird „listened“ und so weiter. Manche Verben sind jedoch unregelmäßig, und ihre Simple Past Form ist ganz anders. Zum Beispiel wird „go“ zu „went“: „I went to the museum yesterday.“ (Ich bin gestern ins Museum gegangen.) Die Formen der unregelmäßigen Verben im Simple Past musst du leider auswendig lernen. Möchte man hingegen eine Frage im Simple Past stellen, so verwendet man das Hilfsverb „did“ und das Grundverb. Zum Beispiel: „Did you have fun?“ (Hattest du Spaß?) oder „Did they ate hamburgers“ (Haben sie Hamburger gegessen?) Um einen Satz im Simple Past zu verneinen, benutzt man „did not“ (oder „didn’t“) und das Verb im Infinitiv (in seiner Grundform). Zum Beispiel: „I didn’t go to school.“ (Ich bin nicht in die Schule gegangen). Es gibt bestimmte Wörter, die uns helfen, zu erkennen, dass wir das Simple Past verwenden sollten. Einige Signalwörter die das Simple Past anzeigen sind zum Beispiel „yesterday“ (gestern), „last week“ (letzte Woche) und „ago“ (vor).
Achtung: Wenn ein Verb auf y endet musst du bei der Bildung des Simple Past aufpassen. Steht ein Vokal vor dem y, so bleibt das y stehen. (play wird zu played). Steht allerdings ein Konsonant vor dem y, so wird das y zu ie (tidy wird zu tiedied).
Das Simple Past ist im Englischen eine sehr wichtige Zeitform. Die Simple Past Form der unregelmäßigen Verben musst du auswendig lernen.
Lerne etwas über die Zeitform des „going to future“. Seinen Gebrauch und seine Verwendung
Das „going to future“ wird verwendet um Dinge oder Abläufe in der Zukunft zu beschreiben. Im DEutschen verwenden wir dafür hauptsächlich das Futur I.
Das going to future
Das „going to future“ ist eine wichtige und nützliche Zeitform im Englischen. Sie hilft uns über zukünftige Pläne, Absichten und Vorhersagen zu sprechen. Diese Zeitform ist besonders wichtig, wenn wir unsere Pläne oder Absichten für die Zukunft ausdrücken möchten. Außerdem können wir Vorhersagen treffen, basierend auf Informationen oder Beobachtungen, die wir bereits gemacht haben.
Um das „going to future“ zu bilden, verwenden wir das Verb „to be“ (am, is, are) in der entsprechenden Form für das Subjekt, gefolgt von „going to“ und dem Verb im Infinitiv. Zum Beispiel sagen wir „I am going to play chess“ für einen zukünftigen Plan, bei dem wir Schach spielen möchten, oder „They are going to make a cake.“ für die Absicht, in der Zukunft einen Kuchen zu backen.
Fragen im „going to future“ stellt man, indem man das Verb „to be“ vor das Subjekt setzt. Zum Beispiel „Is he going to eat an ice cream?“. „Are we going to visit the museum?“ Um einen Satz im „going to future“ zu verneinen, fügen wir „not“ nach dem Verb „to be“ hinzu. Zum Beispiel: „We aren’t (are not) going to read a book.“ „I’m not going to play the piano.“
Das „going to future“ eignet sich auch hervorragend für Vorhersagen, die auf unseren Beobachtungen oder dem aktuellen Wissen basieren. Wenn wir zum Beispiel dunkle Wolken am Himmel sehen, können wir sagen: „Look at those dark clouds. It is going to rain.“
Es gibt auch noch eine andere Zukunftsform im Englischen: Das „will future“. Das „will future“ wird verwendet, um spontane Entscheidungen, Vorhersagen oder Vermutungen über die Zukunft auszudrücken, die nicht auf aktuellen Beobachtungen oder Informationen basieren. Es kann auch verwendet werden, um Versprechen, Angebote oder Aufforderungen auszudrücken.
Das „going to future“ ist eine Zeiform, die es uns ermöglicht Pläne und Absichten für die Zukunft auszudrücken und Vorhersagen basierend auf unserem Wissen oder unseren Beobachtungen zu treffen.
Lerne wann man some und wann man any in der englischen Grammatik verwendet
Im Englischen gibt es verschiedene Möglichkeiten eine ungenaue Anzahl von Dingen anzugeben. Eine davon ist die Verwendung von „some“ und „any“. „Some“ und „any“ werden aber nicht äquivalent verwendet. Wann du „some“ verwendest und wann „any“ wollen wir uns nun gemeinsam anschauen.
Die Verwendung von „some“
„Some“ wird in positiven Sätzen verwendet. Das sind Sätze die nicht verneint werden. Wenn ich zum Beispiel weiß, dass ich ein paar Blätter habe, aber nicht genau weiß wie viele es sind, dann kann ich sagen: „I have got some papers.“
Die Verwendung von „any“
„Any“ wird in Fragen oder Verneinungen (negativen Sätzen) verwendet. Zum Beispiel kannst du sagen „Do you have any pets?“ und die Antwort könnte dann lauten: „No, I haven’t got any pets.“
Vertiefung:
„Some“ und „any“ sind wichtige englische Wörter, die verwendet werden, um unsichere Mengen von Dingen oder Personen zu beschreiben. Beide Wörter können mit zählbaren und unzählbaren Nomen verwendet werden.
In positiven Sätzen benutzen wir „some“, um eine unsichere Menge auszudrücken. „Some“ kann auch in Fragen verwendet werden, wenn wir ein Angebot machen oder eine Anfrage stellen. Zum Beispiel: „Would you like some cake?“
Im Gegensatz dazu verwenden wir „any“ in Fragen und negativen Sätzen. Zum Beispiel fragen wir: „Do you have any apples?“ oder sagen: „I don’t have any candy.“
Es gibt auch Ausdrücke, die „some“ und „any“ enthalten, wie „somebody“, „someone“, „something“, „anybody“, „anyone“ und „anything“. Wir verwenden „somebody“, „someone“ und „something“ in positiven Sätzen oder Angeboten und Anfragen, während „anybody“, „anyone“ und „anything“ in Fragen oder negativen Sätzen verwendet werden.
„Some“ benutzt man in positiven Sätzen, „any“ in negativen Sätzen und Fragen.
In der 7. Klasse lernst du erstmals, lineare Gleichungen zu lösen. Mit Linearen Gleichungen lassen sich Probleme mit einer oder mehreren Unbekannten lösen.
Es gibt viele Anwendungsmöglichkeiten, bei denen es gilt, unbekannte Größen zu ermitteln. Das Aufstellen und Lösen von Gleichungen ist die Vorgehensweise für die Lösung solcher Probleme. Bei linearen Gleichungen handelt es sich um eine vergleichsweise einfache Art von Gleichungen.
In der Regel lernst du in dieser Unterrichtseinheit zunächst, was lineare Gleichungen sind und einige Anwendungsbeispiele für lineare Gleichungen.
Stell dir vor, du möchtest ermitteln, wie viel Geld du jedem Monat sparen musst, um ein bestimmtes Sparziel zu erreichen. Mit einer linearen Gleichung kannst du den erforderlichen Sparbetrag berechnen. Oder du möchtest herausfinden, welche Strecke ein Fahrzeug mit einer bestimmen Geschwindigkeit zurücklegt. Auch das kannst du mit linearen Gleichungen ermitteln.
Was sind lineare Gleichungen im Vergleich zu nicht-linearen Gleichungen?
In Linearen Gleichungen treten Variablen einzeln und nur mit der Potenz 1 auf. Es gibt darin also keine quadratischen oder potenzierte Variablen. Lineare Gleichungen können geometrisch als Gerade dargestellt werden, während nicht-lineare Gleichungen gekrümmte Formen annehmen können.
Im nächsten Schritt lernst du im Unterricht, wie du lineare Gleichungen aufstellen kannst. Meist erhältst du eine Beschreibung oder eine Textaufgabe und musst daraus eine lineare Gleichung ableiten.
Zum Lösen von linearen Gleichungen lernst du mehrere Verfahren, darunter das Additionsverfahren, Subtraktionsverfahren und Gleichsetzungsverfahren.
Um lineare Gleichungen einfacher lösen zu können, lohnt es sich oft, diese zunächst umzuformen. Umformungen von Gleichungen, ohne dass sich die Lösung verändert, nennen wir Äquivalenzumformungen.
Ein weiterer wichtiger Aspekt dieses Themas ist die grafische Darstellung von linearen Gleichungen. Lineare Gleichungen werden im Koordinatensystem als Gerade dargestellt. Das Verständnis hierfür wird später im Thema Lineare Funktionen noch intensiv weiterentwickelt.
In der 8. Klasse wird die Ähnlichkeit als grundlegendes Konzept in der Mathematik und der Geometrie eingeführt. Ähnlichkeit bedeutet, dass Ähnlichkeiten und Beziehungen zwischen zwei Geometrischen Objekten untersucht werden, welche die gleiche Form, aber nicht undingt die gleiche Größe haben.
Der Ähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, wenn entweder alle drei Winkel gleich groß sind (WW-Ähnlichkeit), alle drei Seiten im gleichen Verhältnis stehen (SS-Ähnlichkeit), oder eine Kombination aus einem gleichen Winkel und zwei Seiten im gleichen Verhältnis vorliegt (SWS-Ähnlichkeit).
Ähnlichkeit ist in der Geometrie ein wichtiges Thema, weil wir dadurch Probleme lösen können, bei denen es um Größenverhältnisse geht. Überlegungen zur Ähnlichkeit sind für uns nützlich, um Beziehungen zwischen verschiedenen Objekten zu verstehen. Konkrete Anwendungsbeispiele sind die Skalierung (Vergrößerung und Verkleinerung) von Abbildungen und das Berechnen geometrischer Seitenlängen in geometrischen Figuren.
Durch die Methode der zentrische Streckung kannst du selbst geomtrische Objekte vergrößern und verkleinern. Bei dieser geometrischen Transformation werden alle Punkte des Objekts anhand gerader Linien verschoben, die durch einen festen Punkt (das Streckzentrum) verlaufen. Mit zentrischen Streckungen kannst du vergrößern und verkleinern. Die Winkel bleiben erhalten und die Seitenlängen ändern sich in gleichem Verhältnis.
Warum ist es wichtig, Geometrie zu lernen? Wozu brauchst du das in deinem späteren Leben? Durch das Lösen von Geometrie-Aufgaben lernst du logisches Denken und das systematische Lösen von Problemen. Vor allem kannst du aber auch dein räumliches Verständnis verbessern. Auch wenn dir im Alltag wenige konkrete Fragestellungen zur Geometrie begegnen werden, so ist es durchaus möglich, dass die hier erlernten Fähigkeit dir später helfen können, räumliche Probleme später in Alltag in Beruf zu verstehen und zu lösen.
In der 5. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler das Konzept der Potenzen. Potenzen sind eine kompakte Schreibweise, um wiederholte Multiplikationen desselben Faktors darzustellen.
Beispiel: 24 = 2 • 2 • 2 • 2 gesprochen: 2 hoch 4
Eine Potenz besteht aus einer Basis (im obigen Beispiel: 2) und einem Exponenten (im obigen Beispiel: 4). Die Basis ist die Zahl, die mehrmals multipliziert wird. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mutlipliziert wird.
Besondere Exponenten sind die 0 und die 1.
Eine Zahl hoch 1 ergibt immer die Zahl selbst, denn es findet keine Multiplikation statt:
Beispiel: 21 = 2
Eine Zahl hoch 0 ergibt immer den Wert 1.
Beispiel: 20 = 1
Ein Lernziel des Themas „Einfache Potenzen“ ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen zu verstehen, dass Werte von Potenzen oft sehr große Zahlenwerte ergeben. Dies liegt daran, dass mit jedem Schritt der wiederholten Multiplikation der Wert der Zahl exponentiell ansteigt, was zu einem rasanten Wachstum führt.
Um dies zu verstehen, eignet sich die Legende von den Reiskörnern und dem Schachfeld, welche wie folgt erzählt wird:
Eines Tages besiegte ein kluger Mann einen König in einer Partie Schach. Der König war beeindruckt von der Klugheit des Mannes und bot ihm eine Belohnung an: Ihm solle ein Wunsch erfüllt werden, fallsder König diesem zustimme. Der weise Mann hatte einen bescheidenen Wunsch: Er bat den Herrscher um Reiskörner. Aber anstatt einfach eine bestimmte Menge an Reis zu verlangen, stellte er folgende Bedingung: Er wollte, dass auf das erste Feld des Schachbretts ein Reiskorn gelegt wird. Auf das zweite Feld das Doppelte (also zwei Reiskörner). Auf das dritte Feld wieder das Doppelte (vier Reiskörner) und so weiter. Bis alle 64 Felder des Schachbretts mit Reiskörnern belegt sind.
Der König, der den Wunsch des Weisen für bescheiden hielt, willigte ein. Er befahl seinen Dienern, den Wunsch des Mannes zu erfüllen. Die Diener begannen, die Reiskörner auf das Schachbrett zu legen, und bemerkten, dass die Anzahl der Reiskörner exponentiell zunahm. Bereits nach wenigen Feldern war die Menge an Reis gewaltig. Als sie das 64. Feld erreichten, stellten sie fest, dass die benötigte Reismenge so groß war, dass sie alle Reserven des Königreichs und sogar der ganzen Welt überstieg. Die Menge an Reis auf dem 64. Feld allein betrug 263 Körner. Die Gesamtmenge an Reis, die für alle Felder erforderlich war, betrug 264 – 1 Körner.
Der König erkannte, dass er seinen Versprechungen nicht nachkommen konnte. Er realisierte die Lektion, die der weise Mann ihm erteilen wollte: Das exponentielle Wachstum kann selbst bei kleinen Anfängen zu unglaublich großen Zahlen führen. Man sollte niemals die Macht der Exponentialfunktion und damit von Potenzen unterschätzen.
In diesem Lernthema lernen Schülerinnen und Schüler die Bedeutung und Funktion der Wortarten Adjektiv und Adverb. Ziel ist es unter anderem, die beiden Wortarten unterscheiden und korrekt in Sätzen verwenden zu können.
Häufig wird nach der Unterscheidung der beiden Wortarten gefragt.
Adjektive beschreiben Substantive bzw. Nomen. Sie geben zusätzliche Informationen über Personen, Orte oder Dinge und beschreiben Eigenschaften, Merkmale oder Zustände. Beispiele: happy (glücklich), big (groß), fast (schnell), hungry (hungrig).
Adverbien hingegen geben zusätzliche Informationen über die Art und Weise, den Ort, die Zeit, oder die Häufigkeit. Beispiele: quickly (schnell), carefully (vorsichtig), later (später), there (dort), always (immer)
Eine weitere typische Fragestellung ist die Bildung von Komparativ- und Superlativformen sowie die Unterscheidung und Identifizierung von Adjektiven und Adverbien in Sätzen.
Für die Bildung von Komparativ und Superlativ von Adjektiven gibt es im Englischen folgende Regeln:
Ein- und zweisilbige Adjektive bilden den Komparativ meist durch Anhängen von „-er“. Der Superlativ wird durch Anhängen von „-est“ gebildet. Beispiel: small – smaller – smallest (klein – kleiner – am kleinsten)
Bei Adjektiven, die auf „-y“ enden, wird das „-y“ zu „-ier“ im Komparativ und zu „-iest“ im Superlativ geändert. Beispiel: happy – happier – happiest (glücklich – glücklicher – am glücklichsten)
Für Adjektive mit drei oder mehr Silben verwendet man „more“ (Komparativ) bzw. „most“ (Superlativ) vor dem Adjektiv. Beispiel: beautiful – more beautiful – most beautiful (schön – schöner – am schönsten)
Für die Bildung von Komparativ und Superlativ von Adverbien gibt es im Englischen folgende Regeln:
Adverbien, die auf „-ly“ enden (die meisten Adverbien der Art und Weise), bilden den Komparativ und Superlativ mit „more“ bzw. „most“ vor dem Adverb. Beispiel: quickly – more quickly – most quickly (schnell – schneller – am schnellsten)
Zahlreiche Adverbien der Art und Weise bilden den Komparativ und Superlativ auf die gleiche Weise wie Adjektive, indem sie „-er“ bzw. „-est“ anhängen. Beispiel: fast – faster – fastest (schnell – schneller – am schnellsten)
Adverbien der Zeit, des Ortes und der Häufigkeit haben oft unregelmäßige Komparativ- und Superlativformen. Beispiel: well – better – best (gut – besser – am besten)
Da es zahlreiche unregelmäßige Formen gibt ist es ratsam, diese auswendig zu lernen.
Am Ende der Unterrichtseinheit sollten die Schülerinnen und Schüler in der Lage sein, Adjektive und Adverbien sicher und präzise unterscheiden und verwenden zu können.
Im Deutschunterricht der 5. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler die Zeichensetzungsregeln. Sie sollen lernen, mit richtig gesetzten Satzzeichen ihre Texte klar und verständlich zu gestalten.
Der Punkt steht dabei am Ende von Aussagesätzen. Er wird verwendet wird, um einen Satz abzuschließen. Das Fragzeichen steht am Ende von direkten Fragesätzen und kennzeichnet eine Frage kennzeichnen. Ein weiteres Zeichen ist das Ausrufezeichen, das am Ende von Ausrufesätzen oder zur Betonung einer Aussage eingesetzt wird.
Die Schülerinnen und Schüler beschäftigen sich auch mit dem Komma, das eine Vielzahl von Funktionen hat. Es dient beispielsweise der Trennung von Aufzählungen, der Trennung von Haupt- und Nebensätzen oder der Trennung von gleichrangigen Hauptsätzen, die durch „und“ oder „oder“ verbunden sind.
Der Doppelpunkt kommt ins Spiel, wenn es darum geht, eine Aufzählung, Erklärung oder wörtliche Rede anzukündigen. Das Semikolon dient zur Trennung von gleichrangigen Hauptsätzen, die inhaltlich zusammenhängen, aber nicht durch „und“ oder „oder“ verbunden sind.
Des weiteren gibt es noch die Anführungszeichen. Sie dienen zur Kennzeichnung von direkter Rede und Zitaten. Zu guter letzt ist noch der Gedankenstrich zu erwähnen, der zur Trennung von Einschüben oder Zusätzen verwendet wird, die den Satzfluss unterbrechen.
Die häufigste Fehlerart bei der Zeichensetzung sind Kommafehler. Das liegt daran, dass die Regeln für die Kommasetzung kompliziert sind. Durch falsch gesetzte Kommata kann der SInn eines Satzes verändert oder unklar werden.
Oft werden auch Anführungszeichen vergessen oder falsch gesetzt, insbesondere bei der direkten Rede. Schülerinnen und Schüler sollten lernen, sowohl das öffnende („) als auch das schließende (“) Anführungszeichen zu verwnden.
Ein weiterer häufiger Fehler ist die unangemessene Verwendung des Gedankenstrichs. Ein fehlender oder falsch gesetzter Gedankenstrich kann den Lesefluss stören.
z heißt der Zähler, n heißt der Nenner des Bruches.
Zu jedem Quotienten z : n gibt es eine Bruchzahl z/n
Beispiel:
Einführung:
Brüche sind aus unserem Alltag nicht mehr wegzudenken: ein Viertel, ein Drittel, ein Achtel, ein Halb(es), drei Viertel. All dies sind Brüche die tagaus tagein benutzt werden. Um mit Brüchen später leichter rechnen zu können, werden diese in der oben dargestellten Art und Weise aufgeschrieben.
Ein Bruch macht nur Sinn, wenn er auf etwas bezogen wird. Sonst würde nur jemand sagen: „Ein Drittel!“. Diese Aussage ist sinnlos, da nicht mitgeteilt wurde von was ein Drittel genommen werden soll. Sinnvolle Aussagen sind dagegen:
„Ein Drittel von einem Liter Limo“,
„eine Viertel Stunde“,
„ein halber Kilometer“.
All diese Größen wurden also zunächst in gleichgroße Stücke unterteilt und eines dieser Stücke wurde genommen. Als Bruch geschrieben ergäbe sich:
Somit kommt bei einem Bruch dem Nenner die größte Bedeutung zu. Er gibt an, in wie viele gleichgroße Teile ein Ganzes geteilt wird.
echte und unechte Brüche
Scheinbrüche
Stammbrüche
Gemischte Zahlen
Ist bei einem Bruch der Zähler größer als der Nenner, so kann man ihn als gemischten Bruch bzw. gemischte Zahl schreiben:
Beispiel:
Gleichwertige Brüche
Manchmal kann es sein, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern dennoch den gleichen Wert am Zahlenstrahl markieren. Solche Brüche nennt man gleichwertige Brüche. Sie beschreiben die gleiche Menge Kuchen. So sind im obigen Beispiel folgende Brüche gleichwertig:
Selbst mit der Zahl 0 funktioniert dies:
Die drei Punkte … sollen andeuten, dass es unendlich viele gleichwertige Brüche zu jeder Stelle am Zahlenstrahl gibt, da sich jedes Kuchenstück z.B. wieder teilen lässt.
Erweitern und Kürzen
Zu jeder Bruchzahl gehören unendlich viele verschiedene Brüche.
Beispiel:
Erweitern heißt Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren.
Der Wert der Bruchzahl ändert sich dabei nicht
Beispiel:
Kürzen heißt Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren.
Der Wert der Bruchzahl ändert sich dabei nicht.
Beispiel:
Ein Bruch, den man nicht mehr kürzen kann, nennt man vollständig gekürzt.
(Grundform des Bruches)
Brüche addieren und subtrahieren
Gleichnamige Brüche (=gleicher Nenner) werden addiert bzw. subtrahiert,
indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner beibehält.
Beispiel:
Ungleichnamige Brüche (=verschiedene Nenner) müssen vor dem Addieren bzw. Subtrahieren zuerst gleichnamig (=nennergleich) gemacht werden.
Beispiel:
Brüche multiplizieren
Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man je die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert.
Beispiel:
Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche verwandelt werden
Merkregel:
Wird eine Zahl mit einer ganzen Zahl (z.b. 3, 17, 20) multipliziert, so wird die ursprüngliche Zahl größer.
Wird eine Zahl mit einer echten Bruch (z.b. 1/3, 3/5, 17/38) multipliziert, so wird die ursprüngliche Zahl kleiner.
Brüche dividieren
Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.
Beispiel:
Brüche vergleichen
Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige der größere, der den kleineren Nenner hat.
Beispiel:
Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige der größere, der den größeren Zähler hat.
Beispiel:
Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man vor dem Vergleichen normalerweise auf den
Hauptnenner ( = kgV aller Nenner). Diesen Schritt nennt man auch „gleichnamig machen“.
Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren
Sowohl bei der Addition als auch bei der Subtraktion bietet es sich jedoch an die gemischten Brüche bei zu behalten.
Sind zwei Brüche als gemischte Brüche gegeben, so addiertsubtrahiertman diese nach folgendem Schema:
1. Die Teilbrüche werden auf den Hauptnenner gebracht.
2. Die ganzen Zahlen werden addiert und die Zähler werden addiert.
2. Ist der Zähler des ersten Bruchs größer als der Zähler des zweiten, so wird beim ersten Bruch ein Ganzes abgezogen und zum Teilbruch addiert.
3. Aus dem Teilbruch werden eventuell Ganze herausgezogen.
4. Der Teilbruch wird gekürzt.
Natürlich kann man auch die gemischten Brüche erst in unechte Brüche umwandeln und dann normal addieren.
Beispiel
Beispiel
An der Stelle (1) wurde von den 2 Ganzen des ersten Bruchs 1 Ganzes weggenommen, in 20/20 umgewandelt und zum Teilbruch addiert. So können die Zähler problemlos subtrahiert werden.
Die natürlichen Zahlen ist die bekannteste Zahlenmenge. Wir verwenden sie zum Zählen, Ordnen und Nummerieren.
Die natürlichen Zahlen werden definiert als ganze positive Zahlen. Definieren bedeutet, dass wir diesen Zahlen einen Namen und ein Zeichen geben, nämlich das IN.
IN Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3,…}
Üblicherweise gehört die Null nicht zur Menge der natürlichen Zahlen.
Um die Null mit in die Menge aufzunehmen, verwenden wir folgende Schreibweise:
IN0Menge der natürlichen Zahlen mit Null {0, 1, 2, …}
Dezimalsystem
Wenn wir im Alltag oder im Unterricht Zahlen verwenden, sind es bisher meistens Zahlen aus einem bestimmten Zahlensystem, dem Dezimalsystem, das auch Zehnersystem heißt.
Alle Zahlen des Dezimalsystems werden mit Hilfe der bekannten zehn verschiedenen Zeichen gebildet, die Ziffern genannt werden; da sie aus Arabien stammen, nennt man sie auch arabische Ziffern.
Hier sind noch mal alle zehn Ziffern, die zum Bilden der Zahlen zur Verfügung stehen:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Zunächst ist es ganz einfach: Die zehn Zahlen von null bis neun können wir leicht mit Hilfe der zehn arabischen Ziffern schreiben, indem wir für die Zahl 0 die Ziffer 0 schreiben, für die Zahl 1 die Ziffer 1, … und schließlich für die Zahl 9 die Ziffer 9 schreiben. Du merkst, dass alle zehn Zeichen sowohl als Ziffern als auch als Zahlen bezeichnet werden können.
Möchten wir nun eine Zahl schreiben, deren Wert größer als 9 ist, müssen wir uns etwas einfallen lassen. Glücklicherweise hat jemand vor vielen Jahren bereits eine zündende Idee gehabt: es ist erlaubt, mehrere Ziffern zu benutzen, wenn wir eine Zahl schreiben möchten, deren Wert größer als neun ist und wir dürfen dabei auch jede Ziffer mehrfach benutzen. Die zehn Zahlen von null bis neun bekamen einen Namen, man nannte sie Einer.
Die nächst größere Zahl nach der neun nannte man zehn und schrieb 10, was soviel hieß wie: ich habe einen Zehner und keinen, also null Einer. Dann war klar, die nächst größere Zahl bedeutet: einen Zehner und einen Einer, also 11 usw.! So zählte man die Anzahl der Zehner und die Anzahl der Einer und setzte diese beiden Anzahlen als Ziffern hintereinander, zuerst die Zehner und dann die Einer. Damit hatte man die Zahlen von der null (0) bis zur neunundneunzig (99)!
Die nächst größere Zahl nach der neunundneunzig nannte man hundert und schrieb 100, was bedeutete: einen Hunderter und null Zehner und null Einer. Damit waren die Zahlen bis 999 klar definiert.
Die nächst größere Zahl nach der neunhundertneunundneunzig nannte man tausend und schrieb 1000, was bedeutete: einen Tausender und null Hunderter und null Zehner und null Einer. Damit waren die Zahlen bis 9999 klar definiert.
Du siehst, es kommt auf die Stelle in einer Zahl an, an der eine Ziffer steht, um deren Bedeutung zu verstehen.
Und noch etwas:
Ein Zehner (Z) ist das 10- fache eines Einers (E).
Ein Hunderter (H) ist das 10-fache eines Zehners.
Ein Tausender (T) ist das 10-fache eines Hunderters.
Die fünfte Stelle von rechts, also das 10- fache von einem Tausender, heißt Zehntausender (ZT) Stelle.
Die sechste Stelle von rechts, also das 10-fache von einem Zehntausender, heißt Hunderttausender (HT) Stelle.
Die siebte Stelle von rechts, also das 10- fache von einem Hunderttausender, heißt Million (Mio) Stelle.
Die achte Stelle von rechts, also das 10-fache von einer Million, heißt Zehn-Millionen (ZMio) Stelle.
Die neunte Stelle von rechts, also das 10-fache von Zehn-Millionen, heißt Hundert-Millionen (HMio) Stelle.
Die zehnte Stelle von rechts, also das 10-fache von Hundert-Millionen, heißt Milliarde (Mrd) Stelle.
Die elfte Stelle von rechts, also das 10- fache von einer Milliarde, heißt Zehn-Milliarden (ZMrd) Stelle.
Die zwölfte Stelle von rechts, also das 10-fache von Zehn-Milliarden, heißt Hundert-Milliarden (HMrd) Stelle.
Die dreizehnte Stelle von rechts, also das 10-fache von Hundert-Milliarden, heißt Billion (Bio) Stelle.
Die vierzehnte Stelle von rechts, also das 10-fache von einer Billion, heißt Zehn-Billionen (ZBio) Stelle.
Die fünfzehnte Stelle von rechts, also das 10-fache von Zehn- Billion, heißt Hundert-Billionen (HBio) Stelle.
Dieses so beschriebene Zahlensystem hat – nun verständlicherweise – den Namen Zehnersystem oder Dezimalsystem bekommen.
Um eine gute Übersicht der vielen Stellen und deren Bedeutungen zu erhalten, stellte man eine Tabelle auf und nannte diese eine Stellenwerttafel.
Stellenwerttafel
Zahlen werden in einem Stellenwertsystem mit Hilfe von Ziffern dargestellt. Beispiel.: 235 = 2·102+3·101+5·10 (Dezimalsystem)
Wollte man den Wert zum Beispiel der Zahl 52695732743184 wissen, so trug man diese Zahl in
die Stellenwerttafel ein und erhielt
also die Zahl: zweiundfünfzig Billionen sechshundertfünfundneunzig Milliarden siebenhundertzweiunddreißig Millionen siebenhundertdreiundvierzigtausendeinhundertvierundachtzig !
Mit etwas Übung und einem Trick kannst Du bald die Zahl 52695732743184 auch ohne die Stellenwerttafel lesen.
Der Trick ist, dass Du Deine Zahl, wenn Du sie in Deinen Unterlagen aufschreibst, von rechts her in Dreierpäckchen einteilst.
Das bedeutet, dass Du die Zahl 52695732743184 so 52 695 732 743 184 aufschreibst.
Mathematische Begriffe
Beispiel:
Bedeutung:
17 + 13 = 30
gleich
2·5+5 ≠ 20
ungleich
3·4 > 2.5
größer
4+5 < 12
kleiner
3·x ≥ 9
grösser oder gleich
4·x ≤ 12
kleiner oder gleich
13 < x < 20
liegt zwischen (14,15,16,17,18,19)
13 ≤ x ≤ 20
liegt zwischen (13,14,15, … ,19,20)
a, b, c, … , x, y, z
Platzhalter, Variablez.B.: 7 + x = 10 => x = 3
1,2,3,4,5,6,7,8,9,…
natürliche Zahlen
1,2,3,4,6,12
Teiler von 12
4,8,12,16,20,…
Vielfache von 4
1,4,9,16,25, …
Quadratzahlen (sie entstehen, wenn eine nat. Zahl mit sich selbst multipliziert wird)z.B.: x = 9 => x2 = 81
2,3,5,7,11,13,17,…
Primzahlen haben genau 2 Teiler
3,8,13,18,23,28,…
Zahlen mit 5er-Rest 3 (bei der Division durch 5 haben sie den Rest 3)z.B.: 13 : 5 = 2 R 3
Begriffe Operation und Term
Merk-Beispiel zu den Begriffen „Operation“ und „Term„: 17 – 9 kann bedeuten … … als Operation (Was ist zu tun?): „Subtrahiere 9 von 17“ … als Term (Was ist … oder wie heisst…?) : „17 – 9“ ist eine Differenz
Addition
“25 zu 30 addieren”
30 1. Summand
+plus
25 2. Summand
=gleich
55 (ausgerechnete)Summe
Die Operation heißt Addition. Der Term (Rechenausdruck) “30 + 25” heißt Summe.
Man sagt:
„Zu 30 wird 25 addiert, man erhält 55“ oder
„Man addiert zu 30 25 und erhält 55“ oder
„Die Summe von 30 und 25 hat den Wert 55“ oder
„Man berechnet die Summe von 30 und 25 und erhält 55“
Beachte, dass nach dem Schlüsselwort ‚zu‘ der 1.Summand steht.
Das Vertauschungsgesetz der Addition (Kommutativgesetz)Beispiel: 7 + 4 = 4 + 7 Das Vertauschungsgesetz gilt nicht für die Subtraktion:allgemein: a + b = b + a 7 – 4 ¹ 4 – 7, denn 4 – 7 = -3!
Das Zusammenfassungsgesetz der Addition (Assoziativgesetz)Beispiel: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) Das Zusammenfassungsgesetz gilt nicht für die Subtraktion:allgemein: (a + b) + c = a + (b + c) (20 – 7) – 5 ¹ 20 – (7 – 5), denn 8 ¹ 18
Subtraktion
“30 von 55 subtrahieren”
55 Minuend
–minus
30 Subtrahend
=gleich
25 (ausgerechnete) Differenz
Die Operation heißt Subtraktion. Der Term (Rechenausdruck) “55 – 30” heißt Differenz.
Man sagt:
„Von 55 wird 30 subtrahiert, man erhält 25“ oder
„Man subtrahiert von 55 30 und erhält 25“ oder
„Die Differenz von 55 und 30 hat den Wert 25“ oder
„Man berechnet die Differenz von 55 und 30 und erhält 25“
Beachte, dass nach dem Schlüsselwort ‚von‘ der Minuend, d.h. die erste Zahl steht.
Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion
wenn a + b = c dann a = c – b und b = c – a
Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition.
Merke für die Strichoperationen: – Kommen in einem Term (Rechenausdruck) nur Strichoperationen vor, so werden sie von links nach rechts ausgeführt.
– Klammern geben an, was zuerst gerechnet werden muss.
– Umordnen von Gliedern kann Rechenvorteile bringen!
– Das Operationszeichen links der Zahl muss beim Umordnen mitgenommen werden. Mehrere negative Glieder können als Summe subtrahiert werden.
Multiplikation
“18 mit 11 multiplizieren”
18 1. Faktor
·mal
11 2. Faktor
=gleich
198 (ausgerechnetes) Produkt
Die Operation heißt Multiplikation. Der Term (Rechenausdruck) “18 · 11” heißt Produkt.
Man sagt:
„18 wird mit 11 multipliziert, man erhält 198“ oder
„Man multipliziert 18 mit 11 und erhält 198“ oder
„Das Produkt von 18 und 11 hat den Wert 198“ oder
„Man berechnet das Produkt von 18 und 11 und erhält 198“
Beachte, dass nach dem Schlüsselwort ‚mit‘ der 2.Faktor steht.
Division
“200 durch 5 dividieren”
200 Divident
:durch
5 Divisor
=gleich
40 (ausgerechneter) Quotient
Die Operation heißt Division. Der Term (Rechenausdruck) “18 · 11” heißt Quotient.
Man sagt:
„200 wird durch 5 dividiert, man erhält 40“ oder
„Man dividiert 200 durch 5 und erhält 40“ oder
„Der Quotient von 200 und 5 hat den Wert 40“ oder
„Man berechnet den Quotienten von 200 und 5 und erhält 40“
Beachte, dass nach dem Schlüsselwort ‚durch‘ der Divisor, d.h. die zweite Zahl steht.
Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division
Wenn a · b = c dann a = c : b und b = c : a
Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation.
Das Vertauschungsgesetz der Multiplikation (Kommutativgesetz)
Beispiel:
7 · 4 = 4 · 7
Das Vertauschungsgesetz gilt nicht für die Division:
allgemein:
a · b = b · a
12 : 4 ¹ 4 : 12, denn 3 ¹ 1/3!
Das Zusammenfassungsgesetz der Multiplikation (Assoziativgesetz)
Beispiel:
(3 · 4) · 5 = 3 · (4 · 5)
Das Zusammenfassungsgesetz gilt nicht für die Division:
allgemein:
(a · b) · c = a · (b · c)
(36 : 6) : 2 ¹ 36 : (6 : 2), denn 3 ¹ 12
Merke für die Punktoperationen: – Kommen in einem Term (Rechenausdruck) nur Punktoperationen vor, so werden sie von links nach rechts ausgeführt.
– Klammern geben an, was zuerst gerechnet werden muss.
– Umordnen von Gliedern kann Rechenvorteile bringen!
– Das Operationszeichen links der Zahl muss beim Umordnen mitgenommen werden. Punktoperationen sind vor Strichoperationen auszuführen.
Besondere Faktoren und Divisoren
Der Faktor 1 1 · a = a · 1 = a
Der Faktor 0 0 · a = a · 0 = 0
a · b = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0 Wenn ein Produkt 0 ist, dann ist mindestens einer der Faktoren 0.
Der Divisor 1 a : 1 = a
Der Divisor 0
Beispiel:
17 : 0 = x ⇒ x·0 = 17 Es gibt aber keine Zahl x, die mit 0 multipliziert das Produkt 0 liefert!
Beachte: Die Division durch 0 ist nicht definiert und deshalb verboten!
Potenzierung
“4 mit 3 potenzieren” (4 hoch 3)
43 Basis hoch Exponent
=
4·4·4
=gleich
40 (ausgerechnete) Potenz
Die Operation heißt Potenzierung. Der Term (Rechenausdruck) “43” heißt Quotient.
Eine Zahl, die genau zwei verschiedene Teiler hat, heißt Primzahl.
Jede Primzahl ist also nur durch 1 und sich selbst teilbar!
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Primfaktordarstellung:
Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.
Beispiel: 20 = 22·5
Quadratzahlen
Quadratzahlen sind Potenzen mit 2 als Exponent. z. B.: 32= 9 Die Quadratzahlen der Zahlen bis 20 gehören zum Grundwissen
Runden
In manchen Situationen ist es unnötig, eine Zahl genau anzugeben, z.B. bei großen Entfernungen oder großen Mengen. Meistens sind ungefähre Zahlen sogar übersichtlicher.
Regel:
Wenn hinter der Stelle, auf die man runden will, die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 stehen, dann wird die Zahl abgerundet.
Steht hinter der zu rundenden Stelle aber eine 5, 6, 7, 8, 9, dann wird die Zahl aufgerundet.
Addition und Subtraktion mit Klammern: Klammern auflösen
Plusklammer
Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer weggelassen werden:
a + (b + c) = a + b + c
a + (b – c) = a + b – c
Minusklammer
Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so kann die Klammer nur dannweggelassen werden, wenn ein Pluszeichen in der Klammer durch ein Minuszeichen, ein Minuszeichen durch ein Pluszeichen ersetzt wird:
a – (b + c) = a – b – c
a – (b – c) = a – b + c
Multiplikation und Division mit Klammern: Klammern auflösen
Steht vor einer Klammer ein Multiplikationszeichen, so kann die Klammer weggelassen werden:
a · (b · c) = a · b · c
a · (b : c) = a · b : c
Steht vor einer Klammer ein Divisionszeichen, so kann die Klammer nur dann weggelassen werden, wenn ein Multiplikationszeichen in der Klammer durch ein Divisionszeichen, ein Divisionszeichen durch ein Multiplikationszeichen ersetzt wird:
a : (b · c) = a : b : c
a : (b : c) = a : b · c
Beachte: Verschachtelte Klammern von innen nach außen auflösen!
Beispiel:
12a – (3a – 2b -(4b + 4) + a)
= 12a – (3a – 2b – 4b – 4 + a)
= 12a – 3a + 2b + 4b + 4 – a)
= 8a+6b+4
Terme
Was ist ein Term?
1. Jede Zahl und jede Variable für eine Zahl ist ein Term.
Beispiele: 3, 0, a, b, x, ggT(24,72)
2. Werden Terme addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert oder potenziert, so erhält man wieder einen Term.
Beispiele: a + 7, 3 – c, xy, 3 : e, x² , 3(a + b), (4c:3 – d) : (ab + c²)³
Termumformungen
Zusammenfassen:
14a – 3b – 8a + 7b – 3 = 6a + 4b – 3
Klammern auflösen:
a – (b – c + d) = a – b + c – da : ( e · f ) = a : e : f
Ausmultiplizieren:
7(a + 2b) = 7a + 14b
Ausklammern:
12ab – 16a = 4a(3b – 4)
Addition und Subtraktion mit Variablen
Nur „gleichartige“ algebraische Terme, d.h. Vielfache desselben Terms können durch Addition oder Subtraktion zusammengefasst werden.
Beispiele für „gleichartige“ Terme:
7e, 3e, e / 5r, 3r, r, 6r / 3×2, x2, 12×2 / 3ab, 4ab, ab
c + c + c = 3 ·c = 3c (Das Mal-Zeichen zwischen Zahl und Variable kann weggelassen werden!)
3x – 2x = 1·x = x (Der Faktor 1 wird nicht geschrieben)
a + a + a + b + b = 3a + 2b (Die Variablen werden in alphabetischer Reihenfolge zusammengefasst.)*
9 + 7x + 5x = 12x + 9 (Reine Zahlen werden am Schluss geschrieben)* (*allgemein üblich)
3ab + 7a = (nicht zusammenfassbar)
3ab + 7ab = 10ab
12x2y – 4x2y + 5 = 8x2y + 5
Multiplikation und Division mit Variablen
3 · a = 3a Das Malzeichen zwischen Zahl und Variable wird weggelassen
a · b = ab Das Malzeichen zwischen zwei Variablen wird weggelassen
3a · 4b = 12ab
12a : 3 = 4a , denn 4a · 3 = 12a
30x : (5x) = 6 , denn 6 · 5x = 30x
Gleichungen
Sind T1 und T2 Terme, so heißt T1 = T2 eine Gleichung.
Gleichungen ohne Variable bilden wahre oder falsche Aussagen:
3 · 5 = 8 + 7 (wahre Aussage)
56+23 = 3(23 + 45) (falsche Aussage)
Gleichungen mit einer Variablen
Sie können nach der Variablen aufgelöst werden, d.h. wir suchen eine Zahl für die Variable (= Lösung), so dass eine wahre Aussage entsteht.
5 + x = 24 – 9
x = 10 , denn 5 + 10 = 15
3y = -48
y = -16 , denn 3 · (-16) = -48
Umformungsregeln zum Lösen einer Gleichung mit einer Variablen
Um die gesuchte Zahl x (Lösungsvariable) zu bestimmen, multiplizieren oder dividieren wir beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl, so dass die Variable allein auf eine Seite der Gleichung zu stehen kommt.
x : 7 = 9 //·7
8x = 72 //:8
x = 63
x = 9
Um die gesuchte Zahl x (Lösungsvariable) zu bestimmen, addieren oder subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl, so dass die Variable allein auf eine Seite der Gleichung zu stehen kommt.
x – 7 = 9 //+7
x + 12 = 100 //-12
x = 16
x = 88
Um das Vielfache der Variablen „auf eine Seite der Gleichung zu bringen“, addieren oder subtrahieren wir das Vielfache der Variablen auf beiden Seiten der Gleichung.
7x = 45 – 2x //+2x
12x = 5x + 84 //-5x
9x = 45
7x = 84
Beispiel für das Lösen einer Gleichung:
13x + 17 – (6x + 5) = 5x + 3(9 – x)
Klammern auflösen, Ausmultiplizieren
13x + 17 – 6x – 5 = 5x + 27 – 3x
Zusammenfassen
7x + 12 = 2x + 27
// -2x
5x + 12 = 27
// -12
5x = 15
// :5
x = 3
Zahlenstrahl
An einem Zahlenstrahl lässt sich die Reihenfolge und die Anordnung der Zahlen veranschaulichen.
Um einen Zahlenstrahl zu anzufertigen, zeichnest du eine Achse mit Pfeil und trägst anschließend die Skala ein.
Der Pfeil zeigt an, in welcher Richtung die Zahlen größer werden.
Für die Skala wird die Achse zuerst am linken Endpunkt markiert und dann in immer gleichen Abständen. Anschließend werden die Markierungen beschriftet. Die Skala beginnt links mit der Null und setzt sich dann in gleichmäßigen Schritten fort. Das können z.B. Einerschritte, Zehnerschritte, Fünfzigerschritte usw. sein.
Bei der Skala musst du dich für eine Schrittlänge entscheiden, denn:
Zahlen, die sich um denselben Wert unterscheiden, liegenauf dem Zahlenstrahl gleich weit voneinander entfernt.
Beispiele:
Du brauchst nicht jede Markierung zu beschriften, sondern z.B. nur jede zweite oder jede zwanzigste:
Zehner, Hunderter, Tausender usw. können übrigens auf dem Zahlenstrahl durch besonders lange Markierungen hervorgehoben werden:
Zehner, Hunderter, Tausender usw. können übrigens auf dem Zahlenstrahl durch besonders lange Markierungen hervorgehoben werden:
In manchen Mathebüchern findest du auch diese Darstellungsweise:
